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「受験は競争、受験生もアスリート」。トレーナー的な観点から、理にかなった自学自習で結果を出す「独学力」を、エピソードを交えながら手ほどきします。名付けて「トレーニング受験理論」。その算数・数学編です。第18回は、全米で大論争となった「モンティ・ホール問題」を引き合いに、数学の感覚的な理解を考えます。

全米で大論争となった確率の問題

1960年代のアメリカで、モンティ・ホールという司会者のゲームショー番組がありました。数十年後に、そこで行われたゲームを題材にした確率に関する問題が、大論争を呼び起こしました。論争となったのは、つぎのような問題です。

モンティ・ホール問題

(問題)
3つのドアがあります。そのどれか1つのドアの向こうには新車があります。残り2つのドアの向こうにはヤギがいます。挑戦者はどれか1つドアを選び、それを開けて新車が出たら当たりで、新車をもらうことができます。ヤギが出たらはずれです。司会者のモンティは、どのドアが当たりかを知っています。挑戦者がドアを1つ選んだあと、モンティは残り2つのドアのうち、ヤギがいるドアを開けます。そのあとで挑戦者は、開けられていないもう一つのドアに選択を変更してもよいとモンティから告げられます。

さて、プレーヤーはドアを変更すべきでしょうか?

1990年、世界一のIQ(IQ228)を持つ女性としてギネス認定されているマリリン・ボス・サヴァントの誌上コラム「マリリンにおまかせ」に、読者からこの質問が寄せられました。それに対し、サヴァントは、「ドアを変更した方が良い」と回答しました。これが大論争を巻き起こすことになります。「サヴァントは間違っている」との投稿がなんと約1万通も届き、その中には多数の博士号保持者や数学者たちがいたそうです。

ドアを変更した方が良いのか、それともしない方が良いのか。確率的にはどちらが有利なのでしょうか?

「モンティがドアを開けた後、当たりは残りの2つのドアのうちのどちらか一つ。したがってどちらも当たる確率は1/2」

こう思いませんか?実際にそのような意見が大多数を占めました。

「現実が直感に反すると、人は動揺する」

この問題は、「直感で正しいと思われる解答と、論理的に正しい解答が異なる」問題として有名で、中学の数学の教科書でも紹介されたことがあります。

サヴァントは、「ドアを変更する方が当たる確率は2倍高い」と主張しました。これはプロの数学者も含め、多くの人たちにとって、直感的に受け入れがたい主張でした。ところが大論争の末、サヴァントが正しいことが認められたのです。コンピュータシミュレーションの結果がサヴァントの答えと一致し、ようやく認めた数学者もいたといいます。

プレーヤーが最初に選んだドアをA、残りの2つのドアをB、Cとします。プレーヤーがAを選んだ時点で、それが当たりである確率は1/3、BまたはCが当たりである確率は2/3です。

次に、モンティは残りの2つのドアのうち1つを開けます。この時点でもAが当たりである確率は1/3、BまたはCが当たりである確率は2/3で変わりません。ただし、モンティがはずれのドアを開けるので、残りの1つのドアの当たる確率が2/3となります。

したがって、プレーヤーが選択を変えなければ当たる確率は1/3、選択を変えれば当たる確率は2/3となるのです。その計算を表にした図を掲載しておきます。

当たる確率

この説明でも納得しない方が多いかもしれません。実際、サヴァントもコラムでこの問題を3度にわたり取り上げて解説しましたが、それでもなお反論が9割程度をしめていたそうです。このモンティ・ホール問題について、いくつかの分かりやすい解説が試みられていますが、その中で私が分かりやすいと思ったのは次の解説です。

(解説の一例)
ドアを100個にします。当たりのドアは1つだけ。残り99個のドアははずれです。プレーヤーはその中から1つだけドアを選びます(それをドアAとします)。この時点で、ドアAが当たりである確率は、1/100です。その後モンティが残り99個のドアのうち、98個のはずれのドアを開けます(もちろんモンティは当たりのドアを知っています)。さて、そのうち残された1個のドア(ドアXとします)と、プレーヤーが最初に選んだドアAは、どちらも当たりの確率は1/2と言えるでしょうか?

こう考えると、ドアAとドアXの当たりの確率が同じと答える人はぐっと少なくなるのではないでしょうか?ドアAを選んだのは、モンティがドアを開ける前ですから、その後モンティが98個のドアを開けたとしても、ドアAが当たりである確率は1/100で変わりません。

ドアAは1つですが、ドアXには99個の可能性があります。そしてドアXがどのドアであろうと、残り98個のドアが開けられます。そのため見かけ上、ドアはAとXの2つしか残っていないように見えますが、実際にはドアXの当たる確率は、99個分のドアの確率と同じ99/100なのです。

さて、あなたはこの説明で納得してくれるでしょうか?

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数学は感覚的な理解も大事...
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圓岡太治
圓岡太治

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