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一流アスリートには常に優秀なトレーナーが寄り添います。近年はトレーニング理論が発達し、プロアスリートやオリンピック・メダリストはプロトレーナーから的確な指導を受けるのが常識。理論的背景のない我流のトレーニングでは、厳しい競技の世界で勝ち抜けないからです。自学自習が勉強時間の大半を占める受験も同様です。自学自習のやり方で学力に大きな差が出るのに、ほとんどが生徒自身に任されて我流で行われているのが実情です。「受験は競争、受験生もアスリート」。トレーナー的な観点から、理にかなった自学自習で結果を出す「独学力」を、エピソードを交えながら手ほどきします。名付けて「トレーニング受験理論」。その算数・数学編です。第2回は、伝説の東大入試問題の話題です。
まさに「トーダイ下暗し」
1999年、東大入試の数学の第1問（文系・理系共通）で、三角関数の定義の説明と加法定理の証明が出題され、話題となりました。加法定理は、三角関数の単元において、おそらくどの教科書でも初めの方で学ぶ基本定理で、その証明も記載されています。東大でそのような問題が出題されたこと自体、受験界に驚きを与えましたが、さらに衝撃だったのは、受験生の正答率が2割程度だったことです。
難問に取り組んでいる東大受験生たちの多くが、土台であるはずの基本定理を証明できなかったという事実は、まさに「トーダイ下暗し」の格言を裏付ける結果となってしまいました。ちなみに、この公式が証明できる高校生は、全国に5％もいなかったというデータもあるようです。
「ラジアン」って何？
それから約20年経った2018年。大学入試センター試験の終了後、当時私が指導していた高校3年生B君に、試験の出来具合を聞いてみました。
B君「第一問でいきなりラジアンの定義が出てきて、『えっ、ラジアンって何？』って、メッチャあせりました」
私「緊張してパニックになったの？」
B君「いいえ、ラジアンを知らなかったんです。」
私「！？」
質問の仕方が変わると、途端に解けなくなる
「ラジアン」とは角度を表す単位です。小中学校では角度は「度」を使いますが、高校の数学II以上では通常ラジアンの方を使います。B君の発言を聞いて、冗談を言っているのかと思いました。それまで彼はラジアンを使って三角関数の問題をスラスラ解いていたからです。ところが本人はいたって真面目に受け答えしていたのです。ちなみにB君はその年現役で東京大学文科I類に合格しました。
このように、ラジアンを使った問題は解けるけれどもラジアンの定義自体はよく理解していない、といった一見矛盾するような事態に出くわすことがあります。不思議に思われるかもしれませんが、表面化しないだけで、実はこのようなことは往々にして起こっています。なぜなら、解き方さえ覚えれば、パターン通りの典型的な問題はある程度解けてしまうからです。解いたことがある問題は解けるけれど、少し質問の仕方を変えられると途端に解けなくなる、という子供は要注意です。自分で考えて解いているわけではなく、決まったやり方で機械的に処理しているだけの可能性があります。
